御纂周易折中 · 第 84 卷

乾之策，二百一十有六。坤之策，百四十有四，凡三百有六十，当期之日。二篇之策，万有一千五百二十，当万物之数也。

《系辞上传》说：《乾》卦六爻的策数共二百一十六，《坤》卦六爻的策数共一百四十四，两者合起来共三百六十，恰当一周年的日数。上下二篇六十四卦的策数，共一万一千五百二十，恰当万物的数目。

“二篇”者，上下经六十四卦也，其阳爻百九十二，每爻各三十六策，积之得六千九百一十二，阴爻百九十二，每爻二十四策，积之得四千六百八，又合二者，为力‘有一于五百二十也。若为少阳，则每爻二十八策，凡五千三百七十六，少阴则每爻三十二策，凡六千一百四十四，合之亦为万一千五百二十也。

朱熹解说道：所谓「二篇」，就是《周易》上下经六十四卦。六十四卦共三百八十四爻，阴阳恰好各占一半：阳爻一百九十二，每爻按老阳三十六策计算，累加得六千九百一十二；阴爻也是一百九十二，每爻按老阴二十四策计算，累加得四千六百零八；两项合起来，正是一万一千五百二十。倘若改用少阳、少阴来算，少阳每爻二十八策，共五千三百七十六；少阴每爻三十二策，共六千一百四十四；两项合起来，同样是一万一千五百二十，分毫不差。

是故四营而成易，十有八变而成卦，八卦而小成。引而伸之，触类而长之，天下之能事毕矣。

《系辞上传》说：所以四道经营而成一变，十八变而成一卦，先成三画的八卦叫做小成。由此牵引伸展，触类旁通而推广开去，天下所能做的事就都包括无遗了。

“四营”者，四次经营也。“分二”者，第一营也；“挂一”者，第二营也；“揲四’’者，第三营也；“归奇”者，第四营也，《易》变易也，谓揲之一变也，四营成变，三变成爻。一变而得两仪之象，再变而得四象之象，二变而得八卦之象。一爻而得两仪之画，二爻而得四象之画，三爻而得八卦之画，四爻成而得其”卜六者之一，五爻成而得其三十二者之一，至于积七十二二营而成十有八变，则六爻见，而得乎六十四卦之一矣。

朱熹解说道：所谓「四营」，就是四道经营措置的手续。「分二」是第一营，「挂一」是第二营，「揲四」是第三营，「归奇」是第四营。「易」就是变易，指揲蓍的一变；四营合成一变，三变合成一爻。一变而得两仪之象，再变而得四象之象，三变而得八卦之象；一爻画成便得两仪之画，两爻画成便得四象之画，三爻画成便得八卦之画，四爻画成便得十六者之中的一个，五爻画成便得三十二者之中的一个。每爻要三变，每变要四营，六爻共十八变；等到累积到七十二营、十八变做完，六爻全都显现，就得着六十四卦之中的一卦了。

然方其三十六而九变也已得三画，而八卦之名可见，则内卦之为贞者立矣，此所谓“八卦而小成”者也，自是而往，“引而伸之”，又三十六营九变以成三画，而再得小成之封者也，则外卦之为悔者亦备矣。六爻成，内外卦备，六十四卦之别可见，然后视其爻之变与不变，而触类以长焉，则天下之事，其吉凶悔吝，皆不越乎此矣。

然而当经营到三十六营、九变的时候，已经画成三爻，八卦的名目就可以看见，内卦所谓「贞」的那一半便立定了，这就是经文所说的「八卦而小成」。从此往下「引而伸之」，再经三十六营、九变而画成三爻，又得一个小成之卦，外卦所谓「悔」的那一半也就齐备了；「贞」指内卦、「悔」指外卦，本是《尚书·洪范》里的旧称。六爻画成，内外两卦完备，六十四卦的分别便看得清楚；然后再看爻的变与不变，触类推广开去，那么天下的事情，它的吉、凶、悔、吝，也就都不出这个范围了。

显道神德行，是故可与酬酢，可与祐神矣。道因辞显，行以数神，“酬酢”者，言幽明之相应，如宾主之相交也。“佑神”者，言有以佑助神化之功也。

《系辞上传》说：蓍卦之德能彰显大道、神妙德行，所以可以同它应答酬对，可以凭它佑助神明。朱熹解说道：道理凭着卦爻之辞而彰显，德行凭着蓍策之数而神妙。所谓「酬酢」，是说幽隐的神明与显明的人事互相感应，就像宾主往来交接一般；所谓「佑神」，是说筮法能够帮助神明化育之功。

卷内蔡氏说，为奇者三，为偶者二，盖凡初揲，左手余一余二余三皆为奇，余四为偶。至再揲三揲，则余三者亦为偶，故曰奇二而偶二也。

本卷所引蔡元定的说法讲「为奇的占三、为偶的占二」，那是因为凡头一次揲策，左手余一、余二、余三都算作「奇」，唯有余四才算「偶」；到第二次、第三次揲策，余三的也归入「偶」，所以后面又说「奇有两种、偶有两种」。

《乾》卦用九“见群龙无首，吉”。《象》曰：“用九，天德不可为首也。 ”《坤》卦用六“利永贞”。《象》曰：“用六永贞，以大终也。”其所占者名爻，不谓六爻皆九六也。及其筮也，七八常多，而九六常少，有无九六者焉，此不可以不释也。六十四斟皆然，特于《乾》、《坤》见之，则余可知耳。

《乾》卦有「用九」，辞说「见群龙无首，吉」，《象传》说「用九，天德不可为首」；《坤》卦有「用六」，辞说「利永贞」，《象传》说「用六永贞，以大终也」。这里所占的是变爻，并不是说六爻一齐都是九、都是六。到实际起筮的时候，得七、得八的情形常多，得九、得六的情形常少，甚至有一卦之中一个九六也没有的，这一层不可以不解释清楚。六十四卦都是如此，不过特地在《乾》《坤》两卦上标举出来，其余的就可以由此类推了。

愚案此说发明先儒所未到，最为有功。其论七八多而九六少，又见当时占法，三变皆卦，如一行说。

朱熹按语说：上面这段议论阐发了前代儒者没有讲到的地方，最有功劳。它论及得七、得八的情形多而得九、得六的情形少，又可以看出当时通行的占法是三变都要挂一，与僧一行的说法相合。

凡卦六爻皆不变，则占本卦彖辞，而以内卦为贞，外卦为悔。彖辞为卦下之辞，孔成子筮立卫公子元，遇《屯》，曰“利建侯”。秦伯伐晋筮之遇《蛊》，曰贞风也，其悔山也。

凡是一卦六爻都不变的，就占本卦的彖辞，并且以内卦为「贞」、外卦为「悔」。彖辞就是系在卦画之下的那一段辞。譬如孔成子为立卫国公子元而起筮，遇《屯》卦，便据彖辞断为「利建侯」；秦伯讨伐晋国而起筮，遇《蛊》卦，便说它的贞卦是风、悔卦是山，正是拿内外两体来分说。

一爻变，则以本卦变爻辞占。沙氏程氏曰，毕万遇《屯》之《比》，初九变了也；蔡墨遇《乾》之《同人》，九二变也；晋文公遇《大有》之《睽》，九三变也；陈敬仲遇《观》之《否》，六四变也；南蒯遇《坤》之《比》六五变也；晋献公遇《归妹》之《睽》，上六变也。

凡是只有一爻变的，就用本卦那一个变爻的爻辞来占。古书写作「某卦之某卦」，指的正是由本卦变出之卦的那一爻。沙随程迥说：毕万起筮遇《屯》之《比》，那是初九变；蔡墨说到《乾》之《同人》，那是九二变；晋文公起筮遇《大有》之《睽》，那是九三变；陈敬仲的家人起筮遇《观》之《否》，那是六四变；南蒯起筮遇《坤》之《比》，那是六五变；晋献公嫁女起筮遇《归妹》之《睽》，那是上六变。

集说 胡氏一佳曰：《启蒙》谓一爻变，则以本卦变爻辞占，其下引毕万所筮，以今观之，未尝不取之卦，且不特论一爻，兼取贞悔卦体，似可为占者法也，观陈宣公筮公子完之生，尤可见矣。

集说 胡一桂说：《易学启蒙》讲一爻变就用本卦那一变爻的爻辞来占，下面引了毕万所筮的例子；照今天看来，那一次占断未尝不兼取变出来的「之卦」，而且不单论那一变爻，还兼取贞悔两体的卦象，这似乎可以立为占者的法则。再看陈宣公时为公子完出生所起的那一筮，就更看得明白了。

二爻变，则以本卦二变爻辞占，仍以上爻为主。经传无文，今以例推之当如此。集说 胡氏一桂曰：案陈抟为宋太祖占，亦旁及诸爻与卦体。

凡是两爻变的，就用本卦这两个变爻的爻辞来占，仍旧以居上的那一爻为主。这一条经传上没有明文，如今依体例推论，应当是这样。集说 胡一桂说：按陈抟替宋太祖占卜，也旁及其余各爻与整个卦体，并不死守一爻。

三爻变，则占本卦及之卦之彖辞，而以本卦为贞，之卦为悔，前十卦主贞，后十卦主悔。凡三爻变者。通二十卦有图在后。沙氏程氏曰，晋公子重耳筮得国，遇《屯》悔《豫》皆八，盖初与四五凡三爻变也，初与五用九变，四用六变。其不变者二二上，在两卦皆为八，故云皆八，而司空季子占之曰“皆利建侯。”集说 胡氏一桂曰：案《启蒙》但云占本卦之卦彖辞，然以晋侯《屯》、《豫》之占，则并占卦体可见。

凡是三爻变的，就占本卦与「之卦」两卦的彖辞，以本卦为「贞」、之卦为「悔」；在图中列在前十卦的以贞卦为主，列在后十卦的以悔卦为主。凡三爻变的情形合计二十卦，另有图列在后面。沙随程迥说：晋公子重耳起筮问能否得国，遇「贞《屯》悔《豫》皆八」，那是初爻与四爻、五爻共三爻变；初与五是用九而变，四是用六而变；不变的是二爻、三爻和上爻，在《屯》《豫》两卦里都作八，所以说「皆八」，于是司空季子替他占断说「两卦都利于建侯」。集说 胡一桂说：按《启蒙》只说占本卦与之卦的彖辞，然而从晋侯《屯》《豫》这一占看，显然是连卦体一并占的。

熊氏朋来曰：七八皆不变爻，何以罕言七而专言八。曰：七七，蓍数也，八八，卦数也。

集说 熊朋来说：七和八都是不变之爻，为什么古人很少说七而专说八呢？回答是：七七四十九，那是蓍策之数；八八六十四，那是卦画之数。既然所记的是卦而不是蓍，自然就用属于卦的八来标识了。

四爻变，则以之卦二不变爻占，仍以下爻为主。经传亦无文，今以例推之当如此。

凡是四爻变的，就用「之卦」里那两个不变之爻来占，仍旧以居下的那一爻为主。这一条经传上也没有明文，如今依体例推论，应当是这样。

五爻变，则以之卦不变爻占。穆姜往东宫，筮遇《艮》之八，史曰“是谓艮之随”，盖五爻皆变，唯二得八，故不变也，法宜以“系小子失丈夫”为占，而史妄引《随》之彖辞以对，则非也。

凡是五爻变的，就用「之卦」里那一个不变之爻来占。当年穆姜迁往东宫时起筮，遇「《艮》之八」，太史说「这叫做《艮》之《随》」；那是五爻都变，只有第二爻得八所以不变。照法则应当拿《随》卦六二「系小子，失丈夫」这句爻辞来占，而太史却胡乱引《随》卦的彖辞来应答，那就不对了。

六爻变，则《乾》、《坤》占二用，余卦占之卦彖辞。蔡墨曰，《乾》之《坤》曰，“见群龙无首吉”是也，然“群龙无首”，即《坤》之“牝马”“先迷”也，《坤》之“利永贞”，即《乾》之“不言所利”也。

凡是六爻全变的，若遇《乾》《坤》两卦，就占「用九」「用六」这两条；其余各卦则占「之卦」的彖辞。蔡墨说「《乾》之《坤》，辞为『见群龙无首，吉』」，用的就是这个办法。不过「群龙无首」，其实就是《坤》卦所说的「牝马」「先迷」之意；《坤》卦的「利永贞」，其实就是《乾》卦「不言所利」之意，两边本来是相通的。

于是一卦可变六十四卦，而四千九十六卦在其中矣，所谓“引而仲之，触类而长之，大下之能事毕矣”，岂不信哉。今以六十四卦之变，列为三十二图，最初卦者，自初而终，自一亡而下，得末卦者，自终而初，自下而卜，变在第三十二卦以前者，占本卦爻之辞，变在第三十二卦以后者，占变卦爻之辞。凡言初终上下者，据图而言，言第几卦前后以上三十二图，反复之则为六十四图，图以一卦为主，而各具六十四卦，凡四千九十六卦，与焦赣《易林》合，然其条理精密，则有先儒所未发者，览者详之。

这样一来，一卦可以变出六十四卦，四千零九十六卦就都包含在里头了。所谓「引而伸之，触类而长之，天下之能事毕矣」，岂不确实如此。如今把六十四卦的变化列成三十二张图：得在最初一卦的，从初爻数到上爻、自上而下地看；得在最末一卦的，从上爻数回初爻、自下而上地看。所变落在第三十二卦以前的，占本卦的爻辞；落在第三十二卦以后的，占变卦的爻辞。凡说初、终、上、下，都是就图上的位置而言；说第几卦以前以后，也是就图的次序而言。以上三十二图翻转过来便成六十四图，每一图以一卦为主而各自具足六十四卦，总共四千零九十六卦，与焦赣《易林》的卦数正合；然而它条理精密，有前代儒者不曾发明的地方，看图的人应当细细体会。

集说 胡氏一桂曰；焦延寿卦变法，以一卦变为六十四卦，六十四卦通变四千九十六卦，而卦变之次，本之文王序卦，且如以《乾》为本卦，其变首《坤》，次《屯》、《蒙》，以至《未济》，又如以末一卦《未济》为本卦，其变亦首《乾》，次《坤》、《屯》，以至《既济》，每一卦变六个三卦，通本卦成六十四卦，紫阳夫子以爻变多寡，顺而列之，以定一卦所变之序，又以《乾》、《卦》所变之次，引而伸之，为六十四卦所变相承之序，案 朱子三十二图，其次第最为详密，而后学之疑义有二：一曰筮法用“九”、“六”不用“七”、“八”，今四爻五爻变者，用之卦之不变爻占，则是兼用“七”、“八”也；二曰周公未系爻之先，则彖辞之用，有所不周也。三代筮法，既不尽传，今唯以经传为据而推之，则“用九”“用六”，经文甚明，而用“七”、“八”者，诸书皆无明文，唯杜预以为夏商用之，先儒已摘其非矣。

集说 胡一桂说：焦延寿的卦变法，是把一卦变成六十四卦，六十四卦通共变出四千零九十六卦；而卦变的次第，是依着文王的序卦来排的。比如以《乾》为本卦，它所变的头一卦是《坤》，其次《屯》《蒙》，一直排到《未济》；又如以最末一卦《未济》为本卦，它所变的也是先《乾》，其次《坤》《屯》，一直排到《既济》。每一卦各变出六十三卦，连本卦合成六十四卦。紫阳夫子朱熹则依爻变的多少顺次排列，用来定出一卦所变的次序；又把《乾》卦所变的次第牵引伸展开去，定出六十四卦彼此相承的变卦次序。李光地按：朱熹所列的三十二图，次第最为详密；不过后来学者对它有两点疑问。第一，筮法只用「九」「六」而不用「七」「八」，如今四爻变、五爻变的却要拿「之卦」的不变之爻来占，那便是连「七」「八」也一并用上了。第二，周公还没有系上爻辞以前，单靠彖辞来占，用起来恐怕有不周全的地方。三代的筮法既然没有完整传下来，如今只好拿经传作依据去推求：「用九」「用六」，经文说得十分明白；至于用「七」「八」，各书都没有明文，只有杜预说是夏、商两代所用，前代儒者已经指摘过他的不对了。

考之《春秋》内外传，盖无论变与不变，及变之多寡，皆论卦之体象与其彖辞。即一爻变者，虽占爻辞，而亦必先以卦之体象与其彖辞为主，则知古人占法，未有爻辞之先，即彖辞而已周于用，既有爻辞之后，则但以专动考占，而初亦不离乎彖辞以为断也，唯其一卦可变为六十四，则两卦相参，而可以尽事物之理。故卦之有变者，意主于生卦，不主于成爻。爻之有变者，专动则有占，杂动则无占，如是则传记之文皆合，而学者之疑可释矣。

拿《春秋左传》与《国语》来考察，无论爻变还是不变、变得多还是变得少，占断时都要讲卦的体象与它的彖辞。即使只有一爻变，虽然占那一爻的爻辞，也一定先以卦的体象与彖辞为主。由此可知古人的占法：在爻辞还没有出现以前，单是彖辞就已经足够应用；等到有了爻辞以后，也只是拿那专一变动的爻来考占，而起初仍旧不离彖辞来下断语。正因为一卦可以变成六十四卦，所以本卦与之卦两相参照，就足以穷尽事物的道理。所以卦之有变，用意在生出新卦，不在成就某一爻；爻之有变，则专一而动的才有占，纷杂乱动的就没有占。这样一来，传记上的记载全都讲得通，学者的疑惑也可以解开了。

至内外传言得八者三：一曰《泰》之八，则不变者也；一曰贞《屯》悔《豫》皆八，则三爻变者也；一曰《艮》之八为《艮》之《随》，则五爻变者也。诸儒以八为不动之爻，考之文意，似未符协。盖三占者，虽变数不同，然皆无专动之爻，则其为用卦一也，卦以八成，故以八识卦，犹之爻以“九”“六”成，则以“九”“六”识爻云尔，观朱子之图者，更须以《左传》、《国语》诸书互相参考。

至于《左传》《国语》里讲到「得八」的共有三处：一处说「《泰》之八」，那是六爻都不变的；一处说「贞《屯》悔《豫》皆八」，那是三爻变的；一处说「《艮》之八」即《艮》之《随》，那是五爻变的。各家儒者把「八」解作不动之爻，拿文意去核对，似乎不甚吻合。大概这三次占筮虽然变爻的多少不同，然而都没有专一而动的那一爻，所以同样都是取用整个卦体；卦是以八八相重而成的，所以用「八」来标识卦，正如爻是以「九」「六」而成的，就用「九」「六」来标识爻罢了。看朱熹这些图的人，还须拿《左传》《国语》各书互相参考。

朱子之作《启蒙》，盖因以象数言《易》者，多穿穴而不根，支离而无据。然《易》之为书，实以象数而作，又不可略焉而不讲也，且在当日言图书卦画蓍数者，皆创为异论以毁成法，师其独智而訾先贤，故朱子述此篇以授学者，以为欲知《易》之所以作者，于此可得其门户矣。今摭图书卦画蓍数之所包蕴，其错综变化之妙，足以发朱子未尽之意者凡数端，各为图表而系之以说，盖所以见图书为天地之文章，立卦生蓍为圣神之制作，万理于是乎根本，万法于是乎权舆，断非人力私智之所能参，而世之纷纷撰拟，屑屑疑辨，皆可以熄矣。

朱熹之所以要作《易学启蒙》，是因为用象数讲《易》的人大多穿凿而没有根柢、支离而没有依据；然而《易》这部书本来就是凭象数造作出来的，又不能略过不讲。何况当时讲河洛图书、卦画、蓍数的人，都别出异论来毁弃固有的成法，逞一己的私智而诋毁前贤，所以朱熹撰述这一篇授给学者，认为要想知道《易》为什么会造作出来，从这里就可以找到入门的路径。如今采摭图书、卦画、蓍数所包蕴的错综变化之妙，凡足以阐发朱熹未尽之意的共有几端，各作成图表并系上解说。这是要让人看到：河洛图书是天地自然的文章，立卦生蓍是圣人神明的制作，万理由此扎根，万法由此发端，绝不是人的力量与私智所能参与的。世上那些纷纷扰扰的撰拟、琐琐屑屑的疑辨，也就都可以止息了。

《大传》言《河图》，曰一二，曰三四，曰五六，曰七八，曰九十，则是以两相从也。《大戴礼》言《洛书》，曰二九四，曰七五三，曰六一八，则是以三相从也。是故原《河图》之初，则有一便有二，有三便有四，至五而居中；有六便有七，有八便有九，至十而又居中，顺而布之，以成五位者也。原《洛书》之初，则有一二三，便有四五六，有四五六，便有七八九，层而列之，以成四方者也。

《系辞大传》讲《河图》，说「天一地二，天三地四，天五地六，天七地八，天九地十」，那是两个两个相从的。《大戴礼记》讲《洛书》，说「二九四」「七五三」「六一八」，那是三个三个相从的。所以推原《河图》最初的样子：有一便有二，有三便有四，到五而居中；有六便有七，有八便有九，到十而又居中；这样顺次铺排，便成为中与四方共五个方位。推原《洛书》最初的样子：有一二三便有四五六，有四五六便有七八九；这样一层一层排列，便成为四方之形。

若以阳动阴静而论，则数起于上，故《河图》之一二本在上也，三四本在右也，六七本在下也，八九本在左也，《洛书》之一二三，四五六，七八九，本自上而下也，于是阳数动而变易，阴数静而不迁，则成《河图》、《洛书》之位矣。如以阳静阴动而论，则数起于下，故《河图》之一二本在下也，三四本在左也，六七本在上也，八九本在右也。《洛书》之一二三，四五六，七八九，本自下而上也，于是阳数静而不迁，阴数动而交易，则又成《河图》、《洛书》之位

若按阳主动、阴主静来论，数就从上边起：所以《河图》的一二本在上，三四本在右，六七本在下，八九本在左；《洛书》的一二三、四五六、七八九，本是自上而下排的。于是阳数动而变换位置，阴数静而不迁移，就成了《河图》《洛书》现今的方位。若按阳主静、阴主动来论，数就从下边起：所以《河图》的一二本在下，三四本在左，六七本在上，八九本在右；《洛书》的一二三、四五六、七八九，本是自下而上排的。于是阳数静而不迁移，阴数动而交换位置，也同样成了《河图》《洛书》现今的方位。此处底本有脱文，图题与下句连写在一起。

自《洛书》以三三积数，为数之原，而自四以下，皆以为法焉，何则？三者天数也，故其象圆，如前图，居四方与居四偶者，或动或静，居中者一定不易而各成纵横皆十五之数矣。四者地数也，故其象方，如后图，居中居四偶与居四方者，或动或静，亦各成纵横皆三十四之数矣。自五五以下，皆以三三图为根，自六六以下，皆以四四图为根，而四四图，又实以三三图为根，赦《洛书》为数之原，不易之论也！今附四四图如左（即后二图），以相证明，其余具数学中，不悉载。

从《洛书》拿三三相乘的积数作为数的本原起，四以下的各数都以它为法式。为什么呢？三是天数，所以它的象是圆，就像前面那张图：居四方与居四隅的格子或动或静，居中的那一格固定不变，而纵横各排都成十五之数。四是地数，所以它的象是方，就像后面那张图：居中、居四隅与居四方的格子或动或静，也各自成纵横都是三十四之数。从五五以下都以三三图为根，从六六以下都以四四图为根，而四四图其实又以三三图为根。所以说《洛书》是数的本原，这是不可移易的定论。如今把四四图附在下面两图，用来彼此印证；其余的都载在数学专书里，这里不一一列举。

此以十六数自左而右自上而下列之第一图，其居中与居四偶者不易，而居四方者变易，则成纵横皆三十四之数第二图。若居四方者不易，而居中与居四偶者变易，亦成纵横皆三十四之数第三图。

这是把一到十六这十六个数从左到右、从上到下顺次排列，成为第一图。若让居中的四格与居四角的四格固定不动，而把居四边的八格互换位置，就得出纵横各排都是三十四之数，这是第二图。反过来，若让居四边的固定不动，而把居中与居四角的互换位置，同样得出纵横各排都是三十四之数，这是第三图。

此以十六数自右而左，自下而上列之第一图，用前法变为两图第二图第三图。并得纵横皆三十四之数，但其不易者，即前之变易者，而其变易者，即前之不易者此第二图同前第三图，此第三图同前第二图，盖亦阴阳互为动静之理云。

这是把十六个数从右到左、从下到上顺次排列，成为第一图；再用前面的办法变出两图，就是第二图与第三图。所得的同样是纵横各排都是三十四之数。只是这一组里固定不动的，正是前一组里互换位置的；这一组里互换位置的，正是前一组里固定不动的——本组第二图与前组第三图相同，本组第三图与前组第二图相同。这也正是阴与阳互为动静的道理。

一 三 九 七用中两率，三九相乘为二十七，以一除之得二十七，以二十七除之得一。若用一与二十七相乘，以三除之得九。以九除之得三。二 四 八 六用中两率，四八相乘为三十二，以二除之得十六，以十六除之得二。若用二与十六相乘，以四除之得八，以八除之得四。

一、三、九、七这一列奇数：取中间两项，三与九相乘得二十七；拿一去除它得二十七，拿二十七去除它便得一。若改取首尾两项，一与二十七相乘仍得二十七，拿三去除得九，拿九去除得三。二、四、八、六这一列偶数：取中间两项，四与八相乘得三十二；拿二去除它得十六，拿十六去除它便得二。若改用二与十六相乘仍得三十二，拿四去除得八，拿八去除得四。

《大传》曰：“天一地二，天三地四，天五地六，天七地八，天九地十。”天地之数，皆自少而多，多而复还于少，此加减之原也。又曰：“参天两地而倚数。”天数以三行，地数以二行，此乘除之原也，是故《河图》以一二为数之体之始，《洛书》以三二为数之用之始。然《洛书》之用，始于参两者，以叁两为根也，实则诸数循环互为其根，莫不寓乘除之法焉，而又皆以加减之法为之本。今推得洛书加减之法四，乘除之法十六，积方之法五，勾股之法四，各为图表以明之如左（即如下）。

《系辞大传》说：「天一地二，天三地四，天五地六，天七地八，天九地十。」天地之数都是由少而多，多到极处又回复到少，这就是加法减法的本原。《大传》又说：「参天两地而倚数。」天数以三来推行，地数以二来推行，这就是乘法除法的本原。所以《河图》以一与二作为数之体的开端，《洛书》以三与二作为数之用的开端。然而《洛书》之用所以起于参三两二，是拿三与二作根；其实各数循环往复，彼此互为其根，无一不寓含着乘除之法在内，而又都以加减之法为根本。如今推得《洛书》的加减法四条、乘除法十六条、积方法五条、勾股法四条，各作图表列在下面来加以说明。

一用奇数左旋相加，得相连之偶数。一加三为四，三加九为十二。九加七为十六，七加一为八。若用奇数减左旋相连之偶数，得右旋相连之奇数。七域十六为九，一减八为七。

第一法：把《洛书》上的奇数依一、三、九、七左旋的次序两两相加，所得的正是夹在它们中间的那个偶数（满十只取末一位）。一加三得四；三加九得十二，取末位便是二；九加七得十六，取末位便是六；七加一得八。反过来，若拿其中一个奇数去减左旋相加所得的偶数，得到的便是右旋方向上与它相连的那个奇数：十六减七得九，八减一得七。

一用偶数左旋相加，得相连之偶数。二加六为八，六加八为十四。八加四为 I一二，四加二为六。若用偶数减左旋相连之偶数，得右旋相连之偶数。六减八为二，八减[一四为六。四减十二为八，二减六为四。

第二法：把四隅的偶数依二、六、八、四左旋的次序两两相加，所得的正是与它们相连的那个偶数（满十只取末一位）。二加六得八；六加八得十四，取末位便是四；八加四得十二，取末位便是二；四加二得六。反过来，若拿其中一个偶数去减左旋相加所得的偶数，得到的便是右旋方向上相连的那个偶数：八减六得二，十四减八得六，十二减四得八，六减二得四。

一用奇数右旋加偶数，得相连之奇数。一加六为七，七加二为九。九加四为十三，三加八为十一。若用奇数减相连之奇数，得相连之偶数。一减七为六，七减九为二。九减十三为四，三减十一为八。

第三法：拿奇数依右旋的次序去加偶数，所得的正是与它相连的那个奇数（满十只取末一位）。一加六得七；七加二得九；九加四得十三，取末位便是三；三加八得十一，取末位便是一。反过来，若拿原来那个奇数去减这样得来的相连奇数，所得便是夹在两者之间的偶数：七减一得六，九减七得二，十三减九得四，十一减三得八。

一用偶数右旋加奇数，得相对之奇数。二加九为十一，四加三为七。八加一为九，六加七为十三。若用奇数减相对之奇数，得相连之偶数。九减十一为二，三减七为四。一减九为八，七减十三为六。

第四法：拿偶数依右旋的次序去加奇数，所得的正是与那个奇数隔心相对的另一个奇数（满十只取末一位）。二加九得十一，取末位是一，一正与九相对；四加三得七，七正与三相对；八加一得九，九正与一相对；六加七得十三，取末位是三，三正与七相对。反过来，若拿原来那个奇数去减这相对的奇数，所得便是与它们相连的偶数：十一减九得二，七减三得四，九减一得八，十三减七得六。

一用三左旋乘奇数，得相连之奇数。三二如九，寻九二十七。三七二十一，三一如三。一用八左旋乘偶数，得相连之偶数。八八六十四，八四三一卜二。八二一十六，八六四十八。

第一法：用三依左旋去乘奇数，所得的正是与它相连的下一个奇数（满十只取末一位）。三三得九；三九二十七，末位是七；三七二十一，末位是一；三一得三。第二法：用八依左旋去乘偶数，所得的正是与它相连的下一个偶数。八八六十四，末位是四；八四三十二，末位是二；八二一十六，末位是六；八六四十八，末位是八。

一用三左旋乘偶数，得相连之偶数。三四一十二，三二如六。三六一十八，三八二十四。一用八左旋乘奇数，得相连之偶数。八三二十四，八九七十二。八七五十六，八一如八。

第三法：用三依左旋去乘偶数，所得的正是与它相连的偶数。三四一十二，末位是二；三二得六；三六一十八，末位是八；三八二十四，末位是四。第四法：用八依左旋去乘奇数，所得的却是与之相连的偶数。八三二十四，末位是四；八九七十二，末位是二；八七五十六，末位是六；八一得八。

一用二右旋乘偶数，得相连之偶数。二二如四，二四如八。一用七右旋乘奇数，得相连之奇数。七七四十九，七九六十二。七三二十一，七一如七。一用二右旋乘奇数，得隔二位之偶数。二九一十八，二三如六。二一如二，二七一十四。

第五法：用二依右旋去乘偶数，所得的正是与它相连的偶数：二二得四，二四得八。第六法：用七依右旋去乘奇数，所得的正是与它相连的奇数：七七四十九，末位是九；七九六十三，末位是三；七三二十一，末位是一；七一得七。第七法：用二依右旋去乘奇数，所得的是隔开两位的那个偶数：二九一十八，末位是八；二三得六；二一得二；二七一十四，末位是四。

一用七右旋乘偶数，得相连之偶数。七二一十四，七四二十八。七八五十六，七六四十二。一用一乘奇数，得本位之奇数。一一如一，一三如三。一九如九，一七如七。一用六乘偶数，得本位之偶数。六六三十六，六八四十八。六四二十四，六二一十二。一用一乘偶数，得本位之偶数。一二如二，一四如四。一八如八，一六如六。

第八法：用七依右旋去乘偶数，所得的正是与它相连的偶数：七二一十四，末位是四；七四二十八，末位是八；七八五十六，末位是六；七六四十二，末位是二。第九法：用一去乘奇数，所得仍旧是本位上的那个奇数：一一得一，一三得三，一九得九，一七得七。第十法：用六去乘偶数，所得仍旧是本位上的那个偶数：六六三十六，末位是六；六八四十八，末位是八；六四二十四，末位是四；六二一十二，末位是二。第十一法：用一去乘偶数，所得仍旧是本位上的偶数：一二得二，一四得四，一八得八，一六得六。

一用六乘奇数，得相连之偶数。六七四十二，六九五卜四。六三一十八，六一如六。一用四乘偶数，得相对之偶数。四四一十六，四六二十四。四二如八，四／＼二寸’二。一用九乘奇数，得相对之奇数。九九八十一，九一如九。九三二十七，几七六十三。

第十二法：用六去乘奇数，所得的是与它相连的偶数：六七四十二，末位是二；六九五十四，末位是四；六三一十八，末位是八；六一得六。第十三法：用四去乘偶数，所得的是与它隔心相对的偶数：四四一十六，末位是六；四六二十四，末位是四；四二得八；四八三十二，末位是二。第十四法：用九去乘奇数，所得的是与它隔心相对的奇数：九九八十一，末位是一；九一得九；九三二十七，末位是七；九七六十三，末位是三。

一用四乘奇数，得隔二位之偶数。四九三十六，四七二十八。四一如四，四三十二。一用九乘偶数，得相对之偶数。九二一十八，九八七十二。九四三十六，九六五十四。凡除法，除其所得之数，得其所乘之数。

第十五法：用四去乘奇数，所得的是隔开两位的那个偶数：四九三十六，末位是六；四七二十八，末位是八；四一得四；四三一十二，末位是二。第十六法：用九去乘偶数，所得的是与它隔心相对的偶数：九二一十八，末位是八；九八七十二，末位是二；九四三十六，末位是六；九六五十四，末位是四。至于除法，只要拿所得的数去除，就还原出原先相乘的那个数来。

《洛书》乘除十六法，可约为八法，何则？五者河洛之中数，自此以上，由五以生， 数有合数，有对数，合数生于五，对数成于十，一六二七三八四九，此合数也，皆相减而为五者也。一九二八三七四六，此对数也，皆相并而为十者也。在《河图》，则合数同方，而对数相连。在《洛书》，则合数相连，而对数相对。相合之相从者，六从一也，七从二也，八从三也，九从四也，如前乘除十六法。相对之相从者，九从一也，八从二也，七从三也，六从四也，女垢积方五法。

《洛书》的乘除十六法，其实可以归并成八法，为什么呢？五是河图洛书居中之数，五以上的各数都由这个五生出来。数有「合数」，有「对数」：合数生于五，对数成于十。一与六、二与七、三与八、四与九，这是合数，两两相减都得五；一与九、二与八、三与七、四与六，这是对数，两两相加都得十。在《河图》里，合数同居一方而对数彼此相连；在《洛书》里，合数彼此相连而对数隔心相对。合数相从的，是六跟着一、七跟着二、八跟着三、九跟着四，就像前面所列的乘除十六法；对数相从的，是九跟着一、八跟着二、七跟着三、六跟着四，就像后面所列的积方五法。

凡以合数共乘一数，所得之数必同。乘偶既同数，乘奇则同报。若各自乘焉，则又必合矣，如三三得九，八八六十四。以对数共乘一数，所得之数必对，如三三得九，七三二十一。若各自乘焉，则又必同矣，如一一得一，九九亦八十一，二二得四，八八亦六十四。

凡是拿一对合数分别去乘同一个数，所得的结果必定相应：乘偶数时两者末位完全相同，乘奇数时两者末位彼此相差五而正好成为合数。若是这一对合数各自相乘，所得又必定成合，例如三自乘得九、八自乘六十四末位得四，九与四相减恰是五。拿一对对数分别去乘同一个数，所得的结果必定成对，例如三乘三得九、七乘三得二十一末位是一，九与一相加恰是十。若是这一对对数各自相乘，所得又必定相同，例如一自乘得一、九自乘八十一末位也是一；二自乘得四、八自乘六十四末位也是四。

是以自乘之数，相合之相从者，此得自数，则彼亦得自数也，如一得一，六得六。此得对数则彼亦得对数也，如四得六，九得一。此得连数，则彼亦得连数也。如三得九，八亦得四，二锝四，七亦得九。相对之相从者，此得自数，则彼得对数也。如一得一，九亦得一，六得六，四亦锝六。此得连数，则彼亦得连数也，如三得九，七亦撂九，二得四，八亦得四。要皆会于一六四九而齐焉。故开平方之自乘数，止于一六四九而《洛书》之位。一六四九居上下以为经，二七三八、居左右以为纬者，此也。

因此就自乘所得之数来看：在合数相从的一组里，这一边得的是本数，那一边也得本数，例如一自乘得一、六自乘三十六末位仍得六；这一边得的是自己的对数，那一边也得对数，例如四自乘一十六末位得六（四与六相加成十），九自乘八十一末位得一（九与一相加成十）；这一边得的是相连之数，那一边也得相连之数，例如三自乘得九、八自乘末位得四，二自乘得四、七自乘四十九末位得九。在对数相从的一组里，这一边得本数，那一边便得对数，例如一自乘得一而九自乘末位也得一，六自乘得六而四自乘末位也得六；这一边得相连之数，那一边也得相连之数，例如三自乘得九而七自乘末位也得九，二自乘得四而八自乘末位也得四。总归都会聚到一、六、四、九这四个数上而整齐划一。所以开平方时自乘所得之数只落在一、六、四、九上；而《洛书》的方位，也正是一、六、四、九居上下为经，二、七、三、八居左右为纬，道理就在这里。